Комплексные числа методы решения. Решение задач с комплексными числами. Умножение комплексных чисел в алгебраической форме

Занятие 12 . Комплексные числа.

12.1. Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.

12.2. Модуль, аргумент комплексного числа.

12.3. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.

12.4. Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.

Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.

Комплексным числом в алгебраической форме называется число

где
называется мнимой единицей и
- действительные числа:
называется действительной (вещественной) частью ;
- мнимой частью комплексного числа . Комплексные числа вида
называются чисто мнимыми числами . Множество всех комплексных чисел обозначается буквой .

По определению,

Множество всех действительных чисел является частью множества
: . С другой стороны, существуют комплексные числа, не принадлежащие множеству . Например,
и
, т.к.
.

Комплексные числа в алгебраической форме естественным образом возникают при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Пример 1 . Решить уравнение
.

Решение. ,

Следовательно, заданное квадратное уравнение имеет комплексные корни

,
.

Пример 2 . Найти действительную и мнимую части комплексных чисел

,

,
.

Соответственно вещественная и мнимая части числа ,

Любое комплексное число
изображается вектором на комплексной плоскости , представляющей плоскость с декартовой системой координат
. Начало вектора лежит в точке , а конец - в точке с координатами
(рис 1.) Ось
называется вещественной осью, а ось
- мнимой осью комплексной плоскости .

Комплексные числа сравниваются между собой только знаками
. . Если же хотя бы одно из равенств:
нарушено, то
. Записи типа
не имеют смысла .

По определению, комплексное число
называется комплексно сопряженным числу
. В этом случае пишут
. Очевидно, что
. Везде далее черта сверху над комплексным числом будет означать комплексное сопряжение.

Например, .

Над комплексными числами можно выполнять такие операции, как сложение (вычитание), умножение, деление.

1. Сложение комплексных чисел производится так:

Свойства операции сложения:

- свойство коммутативности;

- свойство ассоциативности.

Нетрудно видеть, что геометрически сложение комплексных чисел
означает сложение отвечающих им на плоскости векторов по правилу параллелограмма.

Операция вычитание числа из числа производится так:

2. Умножение комплексных чисел производится так:

Свойства операции умножения:

- свойство коммутативности;

- свойство ассоциативности;

- закон дистрибутивности.

3. Деление комплексных чисел выполнимо только при
и производится так:

.

Пример 3 . Найти
, если .

Пример 4 . Вычислить
, если .

z, т.к.
.

.(ош!)

Нетрудно проверить (предлагается это сделать самостоятельно) справедливость следующих утверждений:

Модуль, аргумент комплексного числа.

Модуль комплексного числа
(модуль обозначается ) это - неотрицательное число
, т.е.
.

Геометрический смысл - длина вектора, представляющего число на комплексной плоскости . Уравнение
определяет множество всех чисел (векторов на ), концы которых лежат на единичной окружности
.

Аргумент комплексного числа
(аргумент обозначается
) это – угол в радианах между вещественной осью
и числом на комплексной плоскости , причем положителен, если он отсчитывается от
до против часовой стрелки, и отрицателен, если отсчитывается от оси
до по часовой стрелке .

Таким образом, аргумент числа определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого
, где
. Однозначно аргумент числа определяется в пределах одного обхода единичной окружности
на плоскости . Обычно требуется найти
в пределах интервала
, такое значение называется главным значением аргумента числа и обозначается
.

и
числа можно найти из уравнения
, при этом обязательно нужно учитывать , в какой четверти плоскости лежит конец вектора - точка
:

если
(1-я четверть плоскости ), то ;

если
(2-я четверть плоскости ), то;

если
(3-я четверть плоскости ), то ;

если
(4-я четверть плоскости ), то .

Фактически, модуль и аргумент числа
, это полярные координаты
точки
- конца вектора на плоскости .

Пример 5 . Найти модуль и главное значение аргумента чисел:

.

Аргументы чисел , лежащих осях
, разделяющих четверти 1,2,3,4 комплексной плоскости , находятся сразу же по графическим изображениям этих чисел на плоскости .

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах записи.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа
имеет вид:

, (2)

где - модуль, - аргумент комплексного числа . Такое представление комплексных чисел вытекает из равенств .

Показательная (экспоненциальная ) форма записи комплексного числа
имеет вид:

, (3)

где - модуль, - аргумент числа . Возможность представления комплексных чисел в показательной форме (3) вытекает из тригонометрической формы (2) и формулы Эйлера:

. (4)

Эта формула доказывается в курсе ТФКП (Теория функций комплексного переменного).

Пример 6 . Найти тригонометрическую и экспоненциальную формы записи комплексных чисел: из примера 5.

Решение. Воспользуемся результатами примера 5, в котором найдены модули и аргументы всех указанных чисел.

,

.

- тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

3)

- тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

Тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

5)

- тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

Тригонометрическая форма числа ,

.

7)

- тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма числа .

- тригонометрическая форма записи числа ,

- показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

Показательная форма записи комплексных чисел приводит к следующей геометрической трактовке операций умножения и деления комплексных чисел. Пусть
- показательные формы чисел
.

1. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются .

2. При делении комплексного числа на число получается комплексное число , модуль которого равен отношению модулей , а аргумент - разности
аргументов чисел
.

Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.

По определению,

При возведении в целую степень комплексного числа
, следует действовать так: сначала найти модуль и аргумент этого числа; представить в показательной форме
; найти
, выполнив следующую последовательность действий

Где . (5)

Замечание. Аргумент
числа
может не принадлежать интервалу
. В этом случае следует по полученному значению найти главное значение аргумента

числа
, прибавляя (или вычитая) число
с таким значением
, чтобы

принадлежало интервалу
. После этого, нужно заменить в формулах (5) на .

Пример 7 . Найти и
, если
.

1)
=
(см. число из примера 6).

2)
, где
.
.
.

Следовательно, можно заменить на и, значит,

Где
.

3)
, где
.
.

Заменим на . Следовательно,

Извлечение корня -й степени
из комплексного числа
проводится по формуле Муавра-Лапласа

Использование калькулятора

Для вычисления выражения необходимо ввести строку для вычисления. При вводе чисел, разделителем целой и дробной части является точка. Можно использовать скобки. Операциями над комплексными числами являются умножение (*), деление (/), сложение (+), вычитание (-), возведение в степень (^) и другие. В качестве записи комплексных чисел можно использовать показательную и алгебраическую форму. Вводить мнимую единицу i можно без знака умножения, в остальных случаях знак умножения обязателен, например, между скобками или между числом и константой. Также могут быть использованы константы: число π вводится как pi, экспонента e , любые выражения в показателе должны быть обрамлены скобками.

Пример строки для вычисления: (4.5+i12)*(3.2i-2.5)/e^(i1.25*pi) , что соответствует выражению \[\frac{(4{,}5 + i12)(3{,}2i-2{,}5)}{e^{i1{,}25\pi}}\]

В калькуляторе возможно использование констант, математических функций, дополнительных операций и более сложных выражений, ознакомиться с этими возможностями вы можете на странице общих правил использования калькуляторов на этом сайте.

Сайт находится в разработке, некоторые страницы могут быть недоступны.

Новости

07.07.2016
Добавлен калькулятор для решения систем нелинейных алгебраических уравнений: .

30.06.2016
На сайте реализован адаптивный дизайн, страницы адекватно отображаются как на больших мониторах, так и на мобильных устройствах.

Спонсор

РГРОнлайн.ru – мгновенное решение работ по электротехнике онлайн.

Напомним необходимые сведения о комплексных числах.

Комплексное число - это выражение вида a + bi , где a , b - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица , символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью , а число b - мнимой частью комплексного числа z = a + bi . Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a . Видно, что действительные числа - это частный случай комплексных чисел.

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c ) + (b ± d )i , а умножение - по правилу (a + bi ) · (c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc )i (здесь как раз используется, что i 2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi . Равенство z · = a 2 + b 2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

(Например, .)

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a ; b ) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой - концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a ; b ) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z |. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z . Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) - ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ ; r · sin φ ). Отсюда получается тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = |z | · (cos(Arg z ) + i sin(Arg z )). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · |z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i sin(Arg z 1 + Arg z 2)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра : z n = |z | n · (cos(n · (Arg z )) + i sin(n · (Arg z ))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z - это такое комплексное число w , что w n = z . Видно, что , а , где k может принимать любое значение из множества {0, 1, ..., n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корней n -й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n -угольника).

Для решения задач с комплексными числами необходимо разобраться с основными определениями. Главная задача данной обзорной статьи - объяснить, что же такое комплексные числа, и предъявить методы решения основных задач с комплексными числами. Итак, комплексным числом будем называть число вида z = a + bi , где a, b — вещественные числа, которые называют действительной и мнимой частью комплексного числа соответственно и обозначают a = Re(z), b=Im(z) .
i называется мнимой единицей. i 2 = -1 . В частности, любое вещественное число можно считать комплексным: a = a + 0i , где a — вещественное. Если же a = 0 и b ≠ 0 , то число принято называть чисто мнимым.

Теперь введем операции над комплексными числами.
Рассмотрим два комплексных числа z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i .

Рассмотрим z = a + bi .

Множество комплексных чисел расширяет множество вещественных чисел, которое в свою очередь расширяет множество рациональных чисел и т.д. Эту цепочку вложений можно рассмотреть на рисунке: N – натуральные числа, Z - целые, Q – рациональные, R – вещественные, C – комплексные.

Представление комплексных чисел

Алгебраическая форма записи.

Рассмотрим комплексное число z = a + bi , такая форма записи комплексного числа называется алгебраической . Эту форму записи мы уже подробно разобрали в предыдущем разделе. Довольно часто используют следующий наглядный рисунок

Тригонометрическая форма.

Из рисунка видно, что число z = a + bi можно записать иначе. Очевидно, что a = rcos(φ) , b = rsin(φ) , r=|z| , следовательно z = rcos(φ) + rsin(φ)i , φ ∈ (-π; π) называется аргументом комплексного числа. Такое представление комплексного числа называется тригонометрической формой . Тригонометрическая форма записи порой очень удобна. Например, ее удобно использовать для возведения комплексного числа в целую степень, а именно, если z = rcos(φ) + rsin(φ)i , то z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i , эта формула называется формулой Муавра .

Показательная форма.

Рассмотрим z = rcos(φ) + rsin(φ)i — комплексное число в тригонометрической форме, запишем в другом виде z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ , последнее равенство следует из формулы Эйлера, таким образом мы получили новую форму записи комплексного числа: z = re iφ , которая называется показательной . Такая форма записи так же очень удобна для возведения комплексного числа в степень: z n = r n e inφ , здесь n не обязательно целое, а может быть произвольным вещественным числом. Такая форма записи довольно часто используется для решения задач.

Основная теорема высшей алгебры

Представим, что у нас есть квадратное уравнение x 2 + x + 1 = 0 . Очевидно, что дискриминант этого уравнения отрицателен и вещественных корней оно не имеет, но оказывается, что это уравнение имеет два различных комплексных корня. Так вот, основная теорема высшей алгебры утверждает, что любой многочлен степени n имеет хотя бы один комплексный корень. Из этого следует, что любой многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней с учетом их кратности. Эта теорема является очень важным результатом в математике и широко применяется. Простым следствием из этой теоремы является такой результат: существует ровно n различных корней степени n из единицы.

Основные типы задач

В этом разделе будут рассмотрены основные типы простых задач на комплексные числа. Условно задачи на комплексные числа можно разбить на следующие категории.

• Выполнение простейших арифметических операций над комплексными числами.
• Нахождение корней многочленов в комплексных числах.
• Возведение комплексных чисел в степень.
• Извлечение корней из комплексных чисел.
• Применение комплексных чисел для решения прочих задач.

Теперь рассмотрим общие методики решения этих задач.

Выполнение простейших арифметических операций с комплексными числами происходит по правилам описанным в первом разделе, если же комплексные числа представлены в тригонометрической или показательной формах, то в этом случае можно перевести их в алгебраическую форму и производить операции по известным правилам.

Нахождение корней многочленов как правило сводится к нахождению корней квадратного уравнения. Предположим, что у нас есть квадратное уравнение, если его дискриминант неотрицателен, то его корни будут вещественными и находятся по известной формуле. Если же дискриминант отрицателен, то есть D = -1∙a 2 , где a — некоторое число, то можно представить дискриминант в виде D = (ia) 2 , следовательно √D = i|a| , а дальше можно воспользоваться уже известной формулой для корней квадратного уравнения.

Пример . Вернемся к упомянутому выше квадратному уравнению x 2 + x + 1 = 0 .
Дискриминант — D = 1 — 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2 .
Теперь с легкостью найдем корни:

Возведение комплексных чисел в степень можно выполнять несколькими способами. Если требуется возвести комплексное число в алгебраической форме в небольшую степень (2 или 3), то можно сделать это непосредственным перемножением, но если степень больше (в задачах она часто бывает гораздо больше), то нужно записать это число в тригонометрической или показательной формах и воспользоваться уже известными методами.

Пример . Рассмотрим z = 1 + i и возведем в десятую степень.
Запишем z в показательной форме: z = √2 e iπ/4 .
Тогда z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4 .
Вернемся к алгебраической форме: z 10 = -32i .

Извлечение корней из комплексных чисел является обратной операцией по отношению к операции возведения в степень, поэтому производится аналогичным образом. Для извлечения корней довольно часто используется показательная форма записи числа.

Пример . Найдем все корни степени 3 из единицы. Для этого найдем все корни уравнения z 3 = 1 , корни будем искать в показательной форме.
Подставим в уравнение: r 3 e 3iφ = 1 или r 3 e 3iφ = e 0 .
Отсюда: r = 1 , 3φ = 0 + 2πk , следовательно φ = 2πk/3 .
Различные корни получаются при φ = 0, 2π/3, 4π/3 .
Следовательно 1 , e i2π/3 , e i4π/3 — корни.
Или в алгебраической форме:

Последний тип задач включается в себя огромное множество задач и нет общих методов их решения. Приведем простой пример такой задачи:

Найти сумму sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx) .

Хоть в формулировке этой задачи и не идет речь о комплексных числах, но с их помощью ее можно легко решить. Для ее решения используются следующие представления:


Если теперь подставить это представление в сумму, то задача сводится к суммированию обычной геометрической прогрессии.

Заключение

Комплексные числа широко применяются в математике, в этой обзорной статье были рассмотрены основные операции над комплексным числами, описаны несколько типов стандартных задач и кратко описаны общие методы их решения, для более подробного изучения возможностей комплексных чисел рекомендуется использовать специализированную литературу.

Литература