Различные "ветви" реальности. Вычисление вероятности событий с несколькими возможными исходами Усиление ветки вниманием

Споры и гипотезы о существовании неизвестных нам планет-двойников, параллельных вселенных и даже галактик насчитывают уже многие десятилетия. Все они основываются на теории вероятности без привлечения представлений современной физики. В последние годы к ним добавилось еще представление о существовании сверхвселенной, основанное на проверенных теориях - квантовой механике и теории относительности. "Полит.ру" публикует статью Макса Тегмарка "Параллельные вселенные", в которой выдвигается гипотеза о строении предполагаемой сверхвселенной, теоретически включающей в себя четыре уровня. Однако уже в ближайшее десятилетие у ученых может появиться реальная возможность получить новые данные о свойствах космического простраства и, соответственно, подтвердить или опровергнуть данную гипотезу. Статья опубликована в журнале "В мире науки" (2003. № 8).

Эволюция снабдила нас интуицией в отношении повседневной физики, жизненно важной для наших далеких предков; поэтому, как только мы выходим за рамки повседневности, мы вполне можем ожидать странностей.

Простейшая и самая популярная космологическая модель предсказывает, что у нас есть двойник в галактике, удаленной на расстояние порядка 10 в степени 1028 метров. Расстояние столь велико, что находится за пределами досягаемости астрономических наблюдений, но это не делает нашего двойника менее реальным. Предположение основано на теории вероятности без привлечения представлений современной физики. Принимается лишь допущение, что пространство бесконечно и заполнено материей. Может существовать множество обитаемых планет, в том числе таких, где живут люди с такой же внешностью, такими же именами и воспоминаниями, прошедшие те же жизненные перипетии, что и мы.

Но нам никогда не будет дано увидеть наши иные жизни. Самое далекое расстояние, на которое мы способны заглянуть, это то, которое может пройти свет за 14 млрд. лет, протекших с момента Большого взрыва. Расстояние между самыми далекими от нас видимыми объектами составляет около 431026 м; оно и определяет доступную для наблюдения область Вселенной, называемую объемом Хаббла, или объемом космического горизонта, или просто Вселенной. Вселенные наших двойников представляют собой сферы таких же размеров с центрами на их планетах. Это самый простой пример параллельных вселенных, каждая из которых является лишь малой частью сверхвселенной.

Само определение «вселенная» наводит на мысль, что оно навсегда останется в области метафизики. Однако граница между физикой и метафизикой определяется возможностью экспериментальной проверки теорий, а не существованием неподдающихся наблюдениям объектов. Границы физики постоянно расширяются, включая все более отвлеченные (и бывшие до того метафизическими) представления, например, о шаровидной Земле, невидимых электромагнитных полях, замедлении времени при больших скоростях, суперпозиции квантовых состояний, искривлении пространства и черных дырах. В последние годы к этому перечню добавилось и представление о сверхвселенной. Оно основано на проверенных теориях – квантовой механике и теории относительности – и отвечает обоим основным критериям эмпирической науки: позволяет делать прогнозы и может быть опровергнуто. Ученые рассматривают четыре типа параллельных вселенных. Главный вопрос не в том, существует ли сверхвселенная, а сколько уровней она может иметь.

Уровень I

За нашим космическим горизонтом

Параллельные вселенные наших двойников составляют первый уровень сверхвселенной. Это наименее спорный тип. Мы все признаем существование вещей, которых мы не видим, но могли бы увидеть, переместившись в другое место или просто подождав, как ждем появления корабля из-за горизонта. Подобный статус имеют объекты, находящиеся за пределами нашего космического горизонта. Размер доступной наблюдению области Вселенной ежегодно увеличивается на один световой год, поскольку нас достигает свет, исходящий из все более далеких областей, за которыми скрывается бесконечность, которую еще предстоит увидеть. Мы, вероятно, умрем задолго до того, как наши двойники окажутся в пределах досягаемости для наблюдений, но если расширение Вселенной поможет, наши потомки смогут увидеть их в достаточно мощные телескопы.

Уровень I сверхвселенной представляется до банальности очевидным. Как может пространство не быть бесконечным? Разве есть где-нибудь знак «Берегись! Конец пространства»? Если существует конец пространства, то что находится за ним? Однако теория гравитации Эйнштейна поставила это интуитивное представление под сомнение. Пространство может быть конечным, если оно имеет положительную кривизну или необычную топологию. Сферическая, тороидальная или «кренделевидная» вселенная может иметь конечный объем, не имея границ. Фоновое космическое микроволновое излучение позволяет проверить существование подобных структур. Однако до сих пор факты говорят против них. Данным соответствует модель бесконечной вселенной, а на все прочие варианты наложены строгие ограничения.

Другой вариант таков: пространство бесконечно, но материя сосредоточена в ограниченной области вокруг нас. В одном из вариантов некогда популярной модели «островной Вселенной» принимается, что на больших масштабах вещество разрежается и имеет фрактальную структуру. В обоих случаях почти все вселенные в сверхвселенной уровня I должны быть пусты и безжизненны. Последние исследования трехмерного распределения галактик и фонового (реликтового) излучения показали, что распределение вещества стремится к однородному в больших масштабах и не образует структур размером более 1024 м. Если такая тенденция сохраняется, то пространство за пределами наблюдаемой Вселенной должно изобиловать галактиками, звездами и планетами.

Для наблюдателей в параллельных вселенных первого уровня действуют те же законы физики, что и для нас, но при иных стартовых условиях. Согласно современным теориям, процессы, протекавшие на начальных этапах Большого взрыва, беспорядочно разбросали вещество, так что была вероятность возникновения любых структур.

Космологи принимают, что наша Вселенная с почти однородным распределением вещества и начальными флуктуациями плотности порядка 1/105 весьма типична (по крайней мере, среди тех, в которых есть наблюдатели). Оценки на основе этого допущения показывают, что ваша ближайшая точная копия находится на расстоянии 10 в степени 1028 м. На расстоянии 10 в степени 1092 м должна располагаться сфера радиусом 100 световых лет, идентичная той, в центре которой находимся мы; так что все, что в следующем веке увидим мы, увидят и находящиеся там наши двойники. На расстоянии около 10 в степени 10118 м от нас должен существовать объем Хаббла, идентичный нашему. Эти оценки выведены путем подсчета возможного числа квантовых состояний, которые может иметь объем Хаббла, если его температура не превышает 108 К. Число состояний можно оценить, задавшись вопросом: сколько протонов способен вместить объем Хаббла с такой температурой? Ответ – 10118. Однако каждый протон может либо присутствовать, либо отсутствовать, что дает 2 в степени 10118 возможных конфигураций. «Короб», содержащий такое количество объемов Хаббла, охватывает все возможности. Размер его составляет 10 в степени 10118 м. За его пределами вселенные, включая нашу, должны повторяться. Примерно те же цифры можно получить на основе термодинамических или квантовогравитационных оценок общего информационного содержания Вселенной.

Впрочем, наш ближайший двойник скорее всего находится к нам ближе, чем дают эти оценки, поскольку процесс формирования планет и эволюция жизни благоприятствуют этому. Астрономы полагают, что наш объем Хаббла содержит по крайней мере 1020 пригодных для жизни планет, некоторые из которых могут быть похожи на Землю.

В современной космологии понятие сверхвселенной уровня I широко применяется для проверки теории. Рассмотрим, как используют космологи реликтовое излучение для того, чтобы отвергнуть модель конечной сферической геометрии. Горячие и холодные «пятна» на картах реликтового излучения имеют характерный размер, зависящий от кривизны пространства. Так вот, размер наблюдаемых пятен слишком мал, чтобы согласоваться со сферической геометрией. Их средний размер случайным образом меняется от одного объема Хаббла к другому, поэтому не исключено, что наша Вселенная сферическая, но имеет аномально малые пятна. Когда космологи говорят, что они исключают сферическую модель на доверительном уровне 99,9%, они имеют в виду, что если модель верна, то меньше чем один объем Хаббла из тысячи будет характеризоваться столь малыми пятнами, как наблюдаемые. Из этого следует, что теория сверхвселенной поддается проверке и может быть отвергнута, хотя мы и не в состоянии видеть иные вселенные. Главное – предсказать, что представляет собой ансамбль параллельных вселенных, и найти распределение вероятностей или то, что математики называют мерой ансамбля. Наша Вселенная должна быть одной из наиболее вероятных. Если же нет, если в рамках теории сверхвселенной наша Вселенная окажется маловероятной, то эта теория столкнется с трудностями. Как мы увидим далее, проблема меры может стать весьма острой.

Уровень II

Другие постинфляционные домены

Если вам трудно было представить сверхвселенную уровня I, то попытайтесь вообразить бесконечное множество таких сверхвселенных, часть которых имеет иную размерность пространства-времени и характеризуется иными физическими константами. В совокупности они составляют сверхвселенную уровня II, предсказанную теорией хаотической вечной инфляции.

Теория инфляции – это обобщение теории Большого взрыва, позволяющее устранить недочеты последней, например, неспособность объяснить, почему Вселенная столь велика, однородна и плоска. Быстрое растяжение пространства в давние времена позволяет объяснить эти и многие другие свойства Вселенной. Такое растяжение предсказывается широким классом теорий элементарных частиц, и все имеющиеся свидетельства подтверждают его. Выражение «хаотическая вечная» по отношению к инфляции указывает на то, что происходит в самых крупных масштабах. В целом пространство постоянно растягивается, но в некоторых областях расширение прекращается, и возникают отдельные домены, как изюминки в поднимающемся тесте. Появляется бесконечное множество таких доменов, и каждый из них служит зародышем сверхвселенной уровня I, заполненной веществом, рожденным энергией поля, вызывающего инфляцию.

Соседние домены удалены от нас более чем на бесконечность, в том смысле, что их невозможно достичь, даже если вечно двигаться со скоростью света, поскольку пространство между нашим доменом и соседними растягивается быстрее, чем можно перемещаться в нем. Наши потомки никогда не увидят своих двойников на уровне II. А если расширение Вселенной ускоряется, как о том свидетельствуют наблюдения, то они никогда не увидят своих двойников даже на уровне I.

Сверхвселенная уровня II гораздо разнообразнее сверхвселенной уровня I. Домены различаются не только начальными условиями, но и своими фундаментальными свойствами. У физиков преобладает мнение, что размерность пространства-времени, свойства элементарных частиц и многие так называемые физические константы не встроены в физические законы, а являются результатом процессов, известных как нарушение симметрии. Предполагают, что пространство в нашей Вселенной некогда имело девять равноправных измерений. В начале космической истории три из них приняли участие в расширении и стали теми тремя измерениями, которые характеризуют сегодняшнюю Вселенную. Шесть остальных сейчас невозможно обнаружить либо потому, что они остались микроскопическими, сохранив тороидальную топологию, либо потому, что вся материя сосредоточена в трехмерной поверхности (мембране, или просто бране) в девятимерном пространстве. Так была нарушена исходная симметрия измерений. Квантовые флуктуации, обусловливающие хаотическую инфляцию, могли вызвать различные нарушения симметрии в разных кавернах. Одни могли стать четырехмерными; другие – содержать только два, а не три поколения кварков; а третьи – иметь более сильную космологическую постоянную, чем наша Вселенная.

Другой путь возникновения сверхвселенной уровня II можно представить как цикл рождений и разрушений вселенных. В 1930-е гг. физик Ричард Толмен (Richard C. Tolman) высказал эту идею, а недавно Пол Стейнхардт (Paul J. Steinhardt) из Принстонского университета и Нил Тьюрок (Neil Turok) из Кембриджского университета развили ее. Модель Стейнхардта и Тьюрока предусматривает вторую трехмерную брану, совершенно параллельную нашей и лишь смещенную относительно нее в измерении более высокого порядка. Эту параллельную вселенную нельзя считать отдельной, поскольку она взаимодействует с нашей. Однако ансамбль вселенных – прошлых, нынешних и будущих, который эти браны образуют, представляет собой сверхвселенную с разнообразием, по-видимому, близким к возникающему в результате хаотической инфляции. Еще одну гипотезу сверхвселенной предложил физик Ли Смолин (Lee Smolin) из Института Периметра в г. Ватерлоо (пров. Онтарио, Канада). Его сверхвселенная по разнообразию близка к уровню II, но она мутирует и порождает новые вселенные посредством черных дыр, а не бран.

Хотя мы и не можем взаимодействовать с параллельными вселенными уровня II, космологи судят об их существовании по косвенным признакам, поскольку они могут быть причиной странных совпадений в нашей Вселенной. Например, в гостинице вам предоставляют номер 1967, и вы отмечаете, что родились в 1967 г. «Какое совпадение», – говорите вы. Однако, подумав, приходите к выводу, что это не так уж и удивительно. В гостинице сотни номеров, и вам не пришло бы в голову задумываться о чем-либо, если бы предложили номер, ничего для вас не значащий. Если бы вы ничего не знали о гостиницах, то для объяснения этого совпадения вы могли бы предположить, что в гостинице существуют и другие номера.

В качестве более близкого примера рассмотрим массу Солнца. Как известно, светимость звезды определяется ее массой. С помощью законов физики мы можем вычислить, что жизнь на Земле может существовать лишь при условии, что масса Солнца лежит в пределах: от 1,6х1030 до 2,4х1030 кг. В противном случае климат Земли был бы холоднее, чем на Марсе, или жарче, чем на Венере. Измерения массы Солнца дали значение 2,0х1030 кг. На первый взгляд, попадание массы Солнца в интервал значений, обеспечивающий жизнь на Земле, является случайным.

Массы звезд занимают диапазон от 1029 до 1032 кг; если бы Солнце приобрело свою массу случайно, то шанс попасть именно в оптимальный для нашей биосферы интервал был бы крайне мал.

Кажущееся совпадение можно объяснить, предположив существование ансамбля (в данном случае – множества планетных систем) и фактора отбора (наша планета должна быть пригодной для жизни). Такие критерии отбора, связанные с наблюдателем, называют антропными; и хотя упоминание о них обычно вызывает полемику, все же большинство физиков согласно, что пренебрегать этими критериями при отборе фундаментальных теорий нельзя.

А какое отношение все эти примеры имеют к параллельным вселенным? Оказывается, небольшое изменение физических констант, определяемых нарушением симметрии, приводит к качественно иной вселенной – такой, в которой мы бы не могли существовать. Будь масса протона больше всего на 0,2%, протоны распадались бы с образованием нейтронов, делая атомы нестабильными. Будь силы электромагнитного взаимодействия слабее на 4%, не существовало бы водорода и обычных звезд. Будь слабое взаимодействие еще слабее, не было бы водорода; а будь оно сильнее, сверхновые не могли бы заполнять межзвездное пространство тяжелыми элементами. Будь космологическая постоянная заметно больше, Вселенная невероятно раздулась бы еще до того, как смогли образоваться галактики.

Приведенные примеры позволяют ожидать существование параллельных вселенных с иными значениями физических констант. Теория сверхвселенной второго уровня предсказывает, что физики никогда не смогут вывести значения этих констант из фундаментальных принципов, а смогут лишь рассчитывать распределение вероятностей различных наборов констант в совокупности всех вселенных. При этом результат должен согласоваться с нашим существованием в одной из них.

Уровень III

Квантовое множество вселенных

Сверхвселенные уровней I и II содержат параллельные вселенные, чрезвычайно удаленные от нас за пределы возможностей астрономии. Однако следующий уровень сверхвселенной лежит прямо вокруг нас. Он возникает из знаменитой и весьма спорной интерпретации квантовой механики – идеи о том, что случайные квантовые процессы заставляют вселенную «размножаться», образуя множество своих копий – по одной для каждого возможного результата процесса.

В начале ХХ в. квантовая механика объяснила природу атомного мира, который не подчинялся законам классической ньютоновской механики. Несмотря на очевидные успехи, среди физиков шли жаркие споры о том, в чем же истинный смысл новой теории. Она определяет состояние Вселенной не в таких понятиях классической механики, как положения и скорости всех частиц, а через математический объект, называемый волновой функцией. Согласно уравнению Шрёдингера, это состояние изменяется с течением времени таким образом, который математики определяют термином «унитарный». Он означает, что волновая функция вращается в абстрактном бесконечномерном пространстве, называемом гильбертовым. Хотя квантовую механику часто определяют как принципиально случайную и неопределенную, волновая функция эволюционирует вполне детерминистским образом. В отношении нее нет ничего случайного или неопределенного.

Самое трудное – связать волновую функцию с тем, что мы наблюдаем. Многие допустимые волновые функции соответствуют противоестественным ситуациям вроде той, когда кошка одновременно и мертва, и жива в виде так называемой суперпозиции. В 20-е гг. XX в. физики обошли эту странность, постулировав, что волновая функция коллапсирует к некоторому определенному классическому исходу, когда кто-либо осуществляет наблюдение. Это дополнение позволило объяснить результаты наблюдений, но превратило изящную унитарную теорию в неряшливую и не унитарную. Принципиальная случайность, приписываемая обычно квантовой механике, является следствием именно этого постулата.

Со временем физики отказались от этой точки зрения в пользу другой, предложенной в 1957 г. выпускником Принстонского университета Хью Эвереттом (Hugh Everett III). Он показал, что можно обойтись и без постулата о коллапсе. Чистая квантовая теория не налагает никаких ограничений. Хотя она и предсказывает, что одна классическая реальность постепенно расщепляется на суперпозицию нескольких таких реальностей, наблюдатель субъективно воспринимает это расщепление просто как небольшую хаотичность с распределением вероятностей, в точности совпадающим с тем, которое давал старый постулат коллапса. Эта суперпозиция классических вселенных и есть сверхвселенная уровня III.

Более сорока лет такая интерпретация смущала ученых. Однако физическую теорию легче понять, сравнивая две точки зрения: внешнюю, с позиции физика, изучающего математические уравнения (подобно птице, оглядывающей пейзаж с высоты своего полета); и внутреннюю, с позиции наблюдателя (назовем его лягушкой), живущего на ландшафте, обозреваемом птицей.

С точки зрения птицы, сверхвселенная уровня III является простой. Существует всего одна волновая функция, которая плавно эволюционирует во времени без расщепления и параллелизма. Абстрактный квантовый мир, описываемый эволюционирующей волновой функцией, содержит в себе огромное количество непрерывно расщепляющихся и сливающихся линий параллельных классических историй, а также ряд квантовых явлений, не поддающихся описанию в рамках классических представлений. Но с точки зрения лягушки, можно видеть только малую часть этой реальности. Она может видеть вселенную уровня I, однако процесс нарушения когерентности, подобный коллапсу волновой функции, но с сохранением унитарности, не позволяет ей видеть параллельные копии самой себя на уровне III.

Когда наблюдателю задают вопрос, на который он должен быстро дать ответ, квантовый эффект в его мозге приводит к суперпозиции решений вроде такой: «продолжать читать статью» и «бросить читать статью». С точки зрения птицы, акт принятия решения заставляет человека размножиться на копии, одни из которых продолжают читать, а другие прекращают чтение. Однако с внутренней точки зрения, ни один из двойников не знает о существовании других и воспринимает расщепление просто как небольшую неопределенность, некоторую вероятность продолжения или прекращения чтения.

Сколь бы странным это ни казалось, но точно такая же ситуация возникает даже в супервселенной уровня I. Очевидно, вы решили продолжать чтение, но кто-то из ваших двойников в далекой галактике отложил журнал после первого же абзаца. Уровни I и III различаются только тем, где находятся ваши двойники. На уровне I они живут где-то далеко, в добром старом трехмерном пространстве, а на уровне III – на другой квантовой ветви бесконечномерного гильбертова пространства.

Существование уровня III возможно лишь при условии, что эволюция волновой функции во времени унитарна. До сих пор эксперименты не выявили ее отклонений от унитарности. В последние десятилетия ее подтверждали для всех более крупных систем, включая фуллерен С60 и оптические волокна километровой длины. В теоретическом плане положение об унитарности было подкреплено открытием нарушения когерентности. Некоторые теоретики, работающие в области квантовой гравитации, ставят ее под сомнение. В частности, предполагается, что испаряющиеся черные дыры могут разрушать информацию, а это не унитарный процесс. Однако недавние достижения в теории струн позволяют считать, что даже квантовое тяготение является унитарным.

Если это так, то черные дыры не разрушают информацию, а просто передают ее куда-то. Если физика унитарна, стандартная картина влияния квантовых флуктуаций на начальных этапах Большого взрыва должна быть изменена. Эти флуктуации не случайным образом определяют суперпозицию всех возможных начальных условий, которые сосуществуют одновременно. При этом нарушение когерентности заставляет начальные условия вести себя классическим образом на различных квантовых ветвях. Ключевое положение гласит: распределение исходов на разных квантовых ветвях одного объема Хаббла (уровень III) идентично распределению исходов в разных объемах Хаббла одной квантовой ветви (уровень I). Это свойство квантовых флуктуаций известно в статистической механике как эргодичность.

Эти же рассуждения применимы к уровню II. Процесс нарушения симметрии приводит не к однозначному исходу, а к суперпозиции всех исходов, которые быстро расходятся по своим отдельным путям. Таким образом, если физические константы, размерность пространства-времени и проч. могут различаться в параллельных квантовых ветвях на уровне III, то они будут так же различаться в параллельных вселенных на уровне II.

Иными словами, сверхвселенная уровня III не добавляет ничего нового к тому, что имеется на уровнях I и II, лишь большее число копий тех же самых вселенных – такие же исторические линии развиваются снова и снова на разных квантовых ветвях. Горячие споры вокруг теории Эверетта, похоже, скоро утихнут в результате открытия столь же грандиозных, но менее спорных сверхвселенных уровней I и II.

Приложения этих идей глубоки. Например, такой вопрос: происходит ли экспоненциальное увеличение числа вселенных со временем? Ответ неожиданный: нет. С точки зрения птицы, существует только одна квантовая вселенная. А каково число отдельных вселенных в данный момент для лягушки? Это число заметно различающихся объемов Хаббла. Различия могут быть невелики: представьте себе планеты, движущиеся в иных направлениях, вообразите себя с кем-то другим в браке и т.д. На квантовом уровне существуют 10 в степени 10118 вселенных с температурой не выше 108 К. Число гигантское, но конечное.

Для лягушки эволюция волновой функции соответствует бесконечному движению от одного из этих 10 в степени 10118 состояний к другому. Сейчас вы находитесь во вселенной А, где и читаете это предложение. А теперь вы уже во вселенной В, где читаете следующее предложение. Иначе говоря, в В есть наблюдатель, идентичный наблюдателю во вселенной А, с той лишь разницей, что у него есть лишние воспоминания. В каждый момент существуют все возможные состояния, так что течение времени может происходить перед глазами наблюдателя. Эту мысль выразил в своем научно-фантастическом романе «Город перестановок» (1994 г.) писатель Грег Иган (Greg Egan) и развили физик Дэвид Дойч (David Deutsch) из Оксфордского университета, независимый физик Джулиан Барбу (Julian Barbour) и др. Как видим, идея сверхвселенной может играть ключевую роль в понимании природы времени.

Уровень IV

Другие математические структуры

Начальные условия и физические константы в сверхвселенных уровней I, II и III могут различаться, но фундаментальные законы физики одинаковы. Почему мы на этом остановились? Почему не могут различаться сами физические законы? Как насчет вселенной, подчиняющейся классическим законам без каких-либо релятивистских эффектов? Как насчет времени, движущегося дискретными шагами, как в компьютере?

А как насчет вселенной в виде пустого додекаэдра? В сверхвселенной уровня IV все эти альтернативы действительно существуют.

О том, что такая сверхвселенная не является абсурдной, свидетельствует соответствие мира отвлеченных рассуждений нашему реальному миру. Уравнения и другие математические понятия и структуры – числа, векторы, геометрические объекты – описывают реальность с удивительным правдоподобием. И наоборот, мы воспринимаем математические структуры как реальные. Да они и отвечают фундаментальному критерию реальности: одинаковы для всех, кто их изучает. Теорема будет верна независимо от того, кто ее доказал – человек, компьютер или интеллектуальный дельфин. Другие любознательные цивилизации найдут те же математические структуры, какие знаем мы. Поэтому математики говорят, что они не создают, а открывают математические объекты.

Существуют две логичные, но диаметрально противоположные парадигмы соотношения математики и физики, возникшие еще в древние времена. Согласно парадигме Аристотеля, физическая реальность первична, а математический язык является лишь удобным приближением. В рамках парадигмы Платона, истинно реальны именно математические структуры, а наблюдатели воспринимают их несовершенно. Иными словами, эти парадигмы различаются пониманием того, что первично – лягушачья точка зрения наблюдателя (парадигма Аристотеля) или птичий взгляд с высоты законов физики (точка зрения Платона).

Парадигма Аристотеля – это то, как мы воспринимали мир с раннего детства, задолго то того, как впервые услышали о математике. Точка зрения Платона – это приобретенное знание. Современные физики-теоретики склоняются к ней, предполагая, что математика хорошо описывает Вселенную именно потому, что Вселенная математична по своей природе. Тогда вся физика сводится к решению математической задачи, и безгранично умный математик может лишь на основе фундаментальных законов рассчитать картину мира на уровне лягушки, т.е. вычислить, какие наблюдатели существуют во Вселенной, что они воспринимают и какие языки они изобрели для передачи своего восприятия.

Математическая структура – абстракция, неизменная сущность вне времени и пространства. Если бы история была кинофильмом, то математическая структура соответствовала не одному кадру, а фильму в целом. Возьмем для примера мир, состоящий из частиц нулевых размеров, распределенных в трехмерном пространстве. С точки зрения птицы, в четырехмерном пространстве-времени траектории частиц представляют собой «спагетти». Если лягушка видит частицы движущимися с постоянными скоростями, то птица видит пучок прямых, не сваренных «спагетти». Если лягушка видит две частицы, обращающиеся по орбитам, то птица видит две «спагеттины», свитые в двойную спираль. Для лягушки мир описывают законы движения и тяготения Ньютона, для птицы – геометрия «спагетти», т.е. математическая структура. Сама лягушка для нее – толстый их клубок, сложное переплетение которых соответствует группе частиц, хранящих и перерабатывающих информацию. Наш мир сложнее рассмотренного примера, и ученые не знают, какой из математических структур он соответствует.

В парадигме Платона заключен вопрос: почему наш мир таков, каков он есть? Для Аристотеля это бессмысленный вопрос: мир есть, и он таков! Но последователи Платона интересуются: а мог бы наш мир быть иным? Если Вселенная математична по сути, то почему в ее основе лежит только одна из множества математических структур? Похоже, что фундаментальная асимметрия заключена в самой сути природы.Чтобы разгадать головоломку, я выдвинул предположение, что математическая симметрия существует: что все математические структуры реализуются физически, и каждая из них соответствует параллельной вселенной. Элементы этой сверхвселенной не находятся в одном и том же пространстве, но существуют вне времени и пространства. В большинстве из них, вероятно, нет наблюдателей. Гипотезу можно рассматривать как крайний платонизм, утверждающий, что математические структуры платоновского мира идей, или «умственного пейзажа» математика Руди Ракера (Rudy Rucker) из Университета Сан-Хосе, существуют в физическом смысле. Это сродни тому, что космолог Джон Барроу (John D. Barrow) из Кембриджского университета называл «p в небесах», философ Роберт Нозик (Robert Nozick) из Гарвардского университета описывал как «принцип плодовитости», а философ Дэвид Льюис (David K. Lewis) из Принстонского университета именовал «модальной реальностью». Уровень IV замыкает иерархию сверхвселенных, поскольку любая самосогласованная физическая теория может быть выражена в форме некой математической структуры.

Гипотеза о сверхвселенной уровня IV позволяет сделать несколько поддающихся проверке предсказаний. Как и на уровне II, она включает ансамбль (в данном случае – совокупность всех математических структур) и эффекты отбора. Занимаясь классификацией математических структур, ученые должны заметить, что структура, описывающая наш мир, является наиболее общей из тех, что согласуются с наблюдениями. Поэтому результаты наших будущих наблюдений должны стать наиболее общими из числа тех, которые согласуются с данными прежних исследований, а данные прежних исследований – самыми общими из тех, что вообще совместимы с нашим существованием.

Оценить степень общности – непростая задача. Одна из поразительных и обнадеживающих черт математических структур состоит в том, что свойства симметрии и инвариантности, обеспечивающие простоту и упорядоченность нашей Вселенной, как правило, являются общими. Математические структуры обычно обладают этими свойствами по умолчанию, и для избавления от них требуется введение сложных аксиом.

Что говорил Оккам?

Таким образом, теории параллельных вселенных имеют четырехуровневую иерархию, где на каждом следующем уровне вселенные все менее напоминают нашу. Они могут характеризоваться различными начальными условиями (уровень I), физическими константами и частицами (уровень II) или физическими законами (уровень IV). Забавно, что наибольшей критике в последние десятилетия подвергался уровень III как единственный, не вводящий качественно новых типов вселенных. В грядущем десятилетии детальные измерения реликтового излучения и крупномасштабного распределения вещества во Вселенной позволят точнее определить кривизну и топологию пространства и подтвердить или опровергнуть существование уровня I. Эти же данные позволят получить сведения об уровне II путем проверки теории хаотической вечной инфляции. Успехи астрофизики и физики частиц высоких энергий помогут уточнить степень тонкой настройки физических констант, подкрепив или ослабив позиции уровня II. Если усилия по созданию квантового компьютера будут успешными, появится дополнительный довод в пользу существования уровня III, поскольку для параллельных вычислений будет использоваться параллелизм этого уровня. Экспериментаторы ищут также свидетельства нарушения унитарности, которые позволят отвергнуть гипотезу о существовании уровня III. Наконец, успех или провал попытки решить главнейшую задачу современной физики – объединить общую теорию относительности с квантовой теорией поля – даст ответ на вопрос об уровне IV. Либо будет найдена математическая структура, точно описывающая нашу Вселенную, либо мы наткнемся на предел невероятной эффективности математики и будем вынуждены отказаться от гипотезы об уровне IV.

Итак, можно ли верить в параллельные вселенные? Основные доводы против их существования сводятся к тому, что это слишком расточительно и непостижимо. Первый аргумент состоит в том, что теории сверхвселенной уязвимы для «бритвы Оккама», поскольку они постулируют существование других вселенных, которые мы никогда не увидим. Зачем природе быть столь расточительной и «развлекаться» созданием бесконечного числа различных миров? Однако этот аргумент можно обратить в пользу существования сверхвселенной. В чем именно расточительна природа? Разумеется, не в пространстве, массе или количестве атомов: их бесконечно много уже содержится на уровне I, существование которого не вызывает сомнений, так что нет смысла беспокоиться, что природа потратит их еще сколько-то. Реальный вопрос состоит в кажущемся уменьшении простоты. Скептиков беспокоит дополнительная информация, необходимая для описания невидимых миров.

Однако весь ансамбль часто бывает проще каждого из своих членов. Информационный объем алгоритма числа есть, грубо говоря, выраженная в битах длина самой короткой компьютерной программы, генерирующей это число. Возьмем для примера множество всех целых чисел. Что проще – все множество или отдельное число? На первый взгляд – второе. Однако первое можно построить с помощью очень простой программы, а отдельное число может быть чрезвычайно длинным. Поэтому все множество оказывается проще.

Аналогично, множество всех решений уравнений Эйнштейна для поля проще каждого конкретного решения – первое состоит всего из нескольких уравнений, а второе требует задания огромного количества начальных данных на некой гиперповерхности. Итак, сложность возрастает, когда мы сосредоточиваем внимание на отдельном элементе ансамбля, теряя симметрию и простоту, свойственные совокупности всех элементов.

В этом смысле сверхвселенные более высоких уровней проще. Переход от нашей Вселенной к сверхвселенной уровня I исключает необходимость задавать начальные условия. Дальнейший переход к уровню II устраняет необходимость задавать физические константы, а на уровне IV вообще ничего задавать не нужно. Чрезмерная сложность – это лишь субъективное восприятие, точка зрения лягушки. А с позиции птицы, эта сверхвселенная едва ли может быть еще проще. Жалобы на непостижимость имеют эстетическую, а не научную природу и оправданы лишь при аристотелевском мировосприятии. Когда мы задаем вопрос о природе реальности, не следует ли нам ожидать ответа, который может показаться странным?

Общее свойство всех четырех уровней сверхвселенной состоит в том, что простейшая и, по-видимому, самая изящная теория по умолчанию включает в себя параллельные вселенные. Чтобы отвергнуть их существование, нужно усложнить теорию, добавив не подтверждаемые экспериментом процессы и придуманные для этого постулаты – о конечности пространства, коллапсе волновой функции и онтологической асимметрии. Наш выбор сводится к тому, что считать более расточительным и неизящным – множество слов или множество вселенных. Возможно, со временем мы привыкнем к причудам нашего космоса и сочтем его странность очаровательной.

1. Ω = {11,12,13,14,15,16, 21, 22,..., 66},

2. Ω = {2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12}

3. ● A = {16,61,34, 43, 25, 52};

● B = {11,12, 21,13,31,14, 41,15, 51,16, 61}

● C = {12, 21,36,63,45, 54,33,15, 51, 24,42,66}.

● D = {СУММА ОЧКОВ РАВНА 2 ИЛИ 3 };

● E = {СУММА ОЧКОВ РАВНА 10}.

Описать событие: С = {ЦЕПЬ ЗAМКНУТA} для каждого случая.

Решение. Введем обозначения: событие A - контакт 1 за­мкнут; событие В - контакт 2 замкнут; событие С - цепь замкнута, лампочка горит.

1. Для параллельного соединения цепь замкнута, когда хотя бы один из контактов замкнут, поэтому С = A + В ;

2. Для последовательного соединения цепь замкнута, ко­гда замкнуты оба контакта, поэтому С = A · В .

Задача. 1.1.4 Составлены две электрические схемы:

Событие A - цепь замкнута, событие A i - I –й кон­такт замкнут. Для какой из них справедливо соотноше­ние

A1 · (A2 + A3 · A4) · A5 = A?

Решение . Для первой схемы A = A1 · (A2 · A3 + A4 · A5), так как параллельному соединению соответствует сумма собы­тий, а последовательному соединению - произведение событий. Для второй схемы A = A 1 (A2 + A3 A4 A5). Сле­довательно, данное соотношение справедливо для второй схемы.

Задача. 1.1.5 Упростить выражение (A + B)(B + C)(C+ A).

Решение. Воспользуемся свойствами операций сложения и умножения событий.

(A + B)(B + C)(A + C) =

(AB + AC + B B + BC)(A + C) =

= (AB + AC + B + BC)(A + C) =

(AB + AC + B)(A + C) = (B + AC)(A + C) =

= BA + BC + ACA + ACC = B A + BC + AC.

Задача. 1.1.6 Доказать, что события A, AB и A+B Обра­зуют полную группу.

Решение. При решении задачи воспользуемся свойства­ми операций над событиями. В начале покажем, что эти события попарно несовместны.

A теперь покажем, что сумма этих событий дает простран­ство элементарных событий.

Задача. 1.1.7 С помощью схемы Эйлера–Венна проверить правило де-Моргана:

А) Заштриховано событие AB.

Б) Событие A - вертикальная штриховка; событие B - горизонтальная штриховка. Событие

{A+B} - заштрихованная область.

Из сопоставления рисунков а) и в) следует:

Задача. 1.2.1 Сколькими способами можно рассадить 8 человек:

1. В один ряд?

2. За круглым столом?

Решение.

1. Искомое число способов равно числу перестановок из 8, т. е.

P8 = 8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320

2. Так как за круглым столом выбор первого человека не влияет на чередование элементов, то первым можно взять любого, а оставшихся упорядочим относительно выбранного. Это действие можно осуществить 8!/8 = 5040 способами.

Задача. 1.2.2 На курсе изучается 5 предметов. Скольки­ми способами можно составить расписание на субботу, ес­ли в этот день должны быть две различные пары?

Решение. Искомое число способов есть число размещений

Из 5 по 2, так как нужно учесть порядок пар:

Задача. 1.2.3 Сколько экзаменационных комиссий, состо­ящих из 7 человек, можно составить из 15 преподавате­лей?

Решение. Искомое число комиссий (без учета порядка) - это число сочетаний из 15 по 7:

Задача. 1.2.4 Из корзины, содержащей двадцать прону­мерованных шаров выбирают на удачу 5 шаров. Опреде­лить число элементов пространства элементарных собы­тий этого опыта, если:

Шары выбираются последовательно один за другим с возвращением после каждого извлечения;

Шары выбирают один за другим, не возвращая;

Выбирают сразу 5 шаров.

Решение.

Число способов извлечь первый шар из корзины равно 20. Так как извлеченный шар вернулся в корзину, то число способов извлечь второй шар также равно 20 и т. д. Тогда число способов извлечь 5 шаров в этом слу­чае равно 20 · 20 · 20 · 20 · 20 = 3200000.

Число способов извлечь первый шар из корзины рав­но 20. Так как извлеченный шар после извлечения не вернулся в корзину, то число способов извлечь второй шар стало равно 19 и т. д. Тогда число способов извлечь 5 шаров без возвращения равно 20 · 19 · 18 · 17 · 16 = A52 0

Число способов извлечь из корзины 5 шаров сразу рав­но числу сочетаний из 20 по 5:

Задача. 1.2.5 Подброшены две игральные кости. Найти вероятность события A того, что выпадет хотя бы одна единица.

Решение. На каждой кости может выпасть любое число очков от 1 до 6. Поэтому пространство элементарных со­бытий содержит 36 равновозможных исходов. Событию A благоприятствуют 11 исходов: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (1,5), (5,1), (1,6), (6,1), поэтому

Задача. 1.2.6 На красных карточках написаны буквы у, и, я, к, ц, ф, н, на синих - буквы а, а, о, т, т, с, ч. После тща­тельного перемешивания, что вероятнее: с первого раза из букв на красных карточках составить слово «функция» или из букв на синих карточках слово «частота»?

Решение. Пусть событие A - наудачу составленное из 7 букв слово «функция», событие B - наудачу составлен­ное из 7 букв слово «частота». Так как упорядочиваются два множества из 7 букв, то число всех исходов для со­бытий A и B равно n = 7!. Событию A благоприятствует один исход m = 1, так как все буквы на красных карточ­ках различны. Событию B благоприятствуют m = 2! · 2! ис­ходов, так как буквы «а» и «т» встречаются дважды. Тогда P(A) = 1/7! , P(B) = 2! 2! /7! , P(B) > P(A).

Задача. 1.2.7 На экзамене студенту предлагается 30 би­летов; в каждом билете два вопроса. Из 60 вопросов, вошед­ших в билеты, студент знает только 40. Найти вероят­ность того, что взятый студентом билет будет состо­ять

1. из известных ему вопросов;

2. из неизвестных ему вопросов;

3. из одного известного и одного неизвестного вопроса.

Решение. Пусть A - событие, состоящее в том, что на оба вопроса студент знает ответ; B - не знает ответа на оба вопроса; C - на один вопрос знает ответ, на другой - не знает. Выбор двух вопросов из 60 можно осуществить n = C260 = 60 2·59 = 1770 способами.

1. Имеется m = C240 = 40 2·39 = 780 возможностей выбора известных студенту вопросов. Тогда P(A) = M N = 17 78 70 0 = 0,44

2. Выбор двух неизвестных вопросов из 20 можно осуществить m = C220 = 20 2·19 = 190 способами. В таком случае

P(B) = M N = 11 79 70 0 = 0,11

3. Существует m = C14 0 ·C21 0 = 40·20 = 800 способов выбрать билет с одним известным и одним неизвестным вопроcом. Тогда P(C) = 18 70 70 0 = 0,45.

Задача. 1.2.8 По трем каналам послана некоторая ин­формация. Каналы работают независимо друг от друга. Найти вероятность того, что информация достигнет це­ли

1. Только по одному каналу;

2. Хотя бы по одному каналу.

Решение. Пусть A - событие, состоящее в том, что инфор­мация достигает цели только по одному каналу; B - хотя бы по одному каналу. Опыт - передача информации по трем каналам. Исход опыта - информация достигла цели. Обозначим Ai - информация достигает цели по i-му каналу. Пространство элементарных событий имеет вид:

Событию B благоприятствуют 7 исходов: все исходы, кро­меТогда n = 8; mA = 3; mB = 7; P(A) = 3 8 ; P(B) = 7 8.

Задача. 1.2.9 На отрезке единичной длины случайным об­разом появляется точка. Найти вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка больше 1/8.

Решение. По условию задачи искомому событию удовле­творяют все точки, появляющиеся на интервале (a; b).

Так как его длина s = 1 - 1 8 + 1 8 = 3 4, а длина всего отрезка S = 1, то искомая ве­роятность равна P = s/S = 3/14 = 0.75.

Задача. 1.2.10 В партии из N изделий K изделий являются бракованными. Для контроля выбирается m изделий. Най­ти вероятность того, что из M Изделий L Окажутся брако­ванными (событие А).

Решение. Выбор m изделий из n можно осуществить способами, а выбор L бракованных из k бракованных - способами. После выбора L бракованных изделий останется (m - L ) годных, находящихся среди (n - k) изделий. Тогда число исходов, благоприятствующих событию A, равно·

И искомая вероятность

Задача. 1.3.1 B урне 30 шаров: 15 красных, 10 синих и 5 белых. Найти вероятность того, что наугад вынутый шар - цветной.

Решение. Пусть событие A - вынут красный шар, собы­тие B - вынут синий шар. Тогда события (A + B) - вынут цветной шар. Имеем P(A) = 1 3 5 0 = 1 2 , P(B) = 1 3 0 0 = 1 3. Так как

События A и B несовместны, то P(A + B) = P(A) + P(B) = 1 2 + 1 3 = 5 6 = 0.83.

Задача. 1.3.2 Вероятность того, что будет снег (событие A), равна 0.6, А того, что будет дождь (событие B), равна 0.45. Найти вероятность плохой погоды, если вероятность дождя со снегом (событие AB) равна 0.25.

Решение. События A и B совместны, поэтому P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.6 + 0.45 - 0.25 = 0.8

Задача. 1.3.3 B первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором - 3 белых и 9 черных шаров, в третьем - 6 бе­лых и 6 черных шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые.

Решение. Событие A - вынут белый шар из первого ящи­ка, B - из второго ящика, C – из третьего. Тогда P(A) = 12 2 = 1 6; P(B) = 13 2 = 1 4; P(C) = 16 2 = 1 2. Событие ABC - все вынутые

Шары - белые. События A, B,C - независимые, поэтому

P(ABC) = P(A)·P (B)·P (C) = 1 6 · 1 4 · 1 2 = 41 8 = 0.02

Задача. 1.3.4 B электрическую цепь последовательно включены 5 Элементов, работающие независимо друг от друга. Вероятность отказов первого, второго, третье­го, четвертого, пятого элементов соответственно равны 0.1; 0.2; 0.3; 0.2; 0.1. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет (событие A).

Решение. Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет, если откажет хотя бы один эле­мент. Событие Ai(i =1...5) - откажет I - й элемент. События

Задача. 1.3.5 Цепь состоит из независимых блоков, соеди­ненных в систему с одним входом и одним выходом.

Выход из строя за время Т различных элементов цепи - независимые события, имеющие следующие вероятно­сти P 1 = 0.1; P2 = 0.2; P3 = 0.3; P4 = 0.4. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Найти надежность системы.

Решение. Если событие A - {СИСТЕМА НАДЕЖНА}, Ai - {i - й БЛОК РАБОТАЕТ БЕЗОТКАЗНО}, то A = (A1 + A2)(A3 + A4). События A1+A2, A3+A4 - независимые, события A1 и A2, A3 и A4 - совместные. По формулам умножения и сложения вероятностей

Задача. 1.3.6 Рабочий обслуживает 3 станка. Вероят­ность того, что в течение часа станок не потребует вни­мания рабочего, равна для первого станка 0.9, для второго станка - 0.8, для третьего станка - 0.7.

Найти вероятность того, что в течение некоторого часа

1. Потребует внимания второй станок;

2. Потребуют внимания два станка;

3. Потребуют внимания не менее двух станков.

Решение. Пусть Ai - i-й станок потребует внимания ра­бочего,- i-й станок не потребует внимания рабочего. Тогда

Пространство элементарных событий:

1. Событие A - потребует внимания второй станок: Тогда

Так как события несовместные и независимые. P(A) = 0.9·0.8·0.7 + 0.1·0.8·0.7 + 0.9·0.8·0.3 + 0.1·0.8·0.3 = 0.8

2. Событие B - потребуют внимания два станка:

3. Событие C - потребуют внимания не менее двух стан­
ков:

Задача. 1.3.7 B машину «Экзаменатор» введено 50 Вопро­сов. Студенту предлагается 5 Вопросов и ставится оценка «отлично», если на все вопросы получен верный ответ. Най­ти вероятность получить “отлично”, если студент подго­товил только 40 Вопросов.

Решение. A - {ПОЛУЧЕНА ОЦЕНКА «ОТЛИЧНО»}, Ai - {ОТВЕТИЛ НА i - й ВОПРОС}. Тогда A = A1A2A3A4A5, имеем:

Или, другим способом - c помощью формулы классической вероятности:И

Задача. 1.3.8 Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в I , II , III , IV ящике, соответственно рав­ны 0.6; 0.7; 0.8; 0.9. Найти вероятность того, что сборщику придется проверить все 4 ящика (событие A ).

Решение. Пусть Ai - {Нужная сборщику деталь находит­ся в i-м ящике.} Тогда

Так как события несовместны и независимы, то

Задача. 1.4.1 Обследовалась группа из 10000 человек в возрасте свыше 60 лет. Оказалось, что 4000 человек яв­ляются постоянно курящими. У 1800 курящих обнаружи­лись серьезные изменения в легких. Среди некурящих изме­нения в легких имели 1500 человек. Какова вероятность того, что наугад обследованный человек, имеющий изме­нения в легких, является курящим?

Решение. Введем гипотезы: H1 - обследованный является постоянно курящим, H2 - является некурящим. Тогда по условию задачи

P(H1)= ------- =0,4, P(H2)=--------- =0,6

Обозначим через A событие, состоящее в том, что об­следованный имеет изменения в легких. Тогда по условию задачи

По формуле (1.15) находим

Искомая вероятность того, что обследованный человек является курящим, по формуле Байеса равна

Задача. 1.4.2 В продажу поступают телевизоры трех за­водов: 30% с первого завода, 20% - со второго, 50% - с третьего. Продукция первого завода содержит 20% теле­визоров со скрытым дефектом, второго - 10% , третьего - 5%. Какова вероятность приобрести исправный телеви­зор?

Решение. Рассмотрим события: A - приобретен исправ­ный телевизор; гипотезы H1, H2, H3 - телевизор поступил в продажу соответственно с первого, второго, третьего заво­да. По условию задачи

По формуле (1.15) находим

Задача. 1.4.3 Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом 20 белых шаров, во втором - 10 белых и 10 черных шаров, в третьем - 20 черных шаров. Из наугад выбран­ного ящика вынут белый шар. Найти вероятность того, что этот шар из второго ящика.

Решение. Пусть событие A - вынут белый шар, гипотезы H1, H2, H3 - шар вынут соответственно из первого, второго, третьего ящика. Из условия задачи находим

Тогда
По формуле (1.15) находим

По формуле (1.16) находим

Задача. 1.4.4 Телеграфное сообщение состоит из сигна­лов «точка» и «тире». Статистические свойства помех та­ковы, что искажаются в среднем 2/5 Сообщений «точка» и 1/3 Сообщений «тире». Известно, что среди передавае­мых сигналов «точка» и «тире» встречаются в соотноше­нии 5: 3. Определить вероятность того, что принят пе­редаваемый сигнал, если:

А) принят сигнал «точка»;

Б) принят сигнал «тире».

Решение. Пусть событие A - принят сигнал «точка», а со­бытие B - принят сигнал «тире».

Можно сделать две гипотезы: H1 - передан сигнал «точ­ка», H2 - передан сигнал «тире». По условию P(H1) : P(H2) =5: 3. Кроме того, P(H1) + P(H2) = 1. Поэтому P(H1) = 5/8, P(H 2 ) = 3/8. Известно, что

Вероятности событий A И B Находим по формуле пол­ной вероятности:

Искомые вероятности будут:

Задача. 1.4.5 Из 10 каналов радиосвязи 6 каналов защи­щены от воздействия помех. Вероятность того, что за­щищенный канал в течении времени T не выйдет из строя, равна 0.95, для незащищенного канала - 0.8. Найти ве­роятность того, что случайно выбранные два канала не выйдут из строя в течение времени T , причем оба канала не защищены от воздействия помех.

Решение. Пусть событие A - оба канала не выйдут из строя в течение времени t, событие A1 - Выбран защищен­ный канал, A2 - Выбран незащищенный канал.

Запишем пространство элементарных событий для опыта - {выбрано два канала}:

Ω = {A1A1, A1A2, A2A1, A2A2}

Гипотезы:

H1 - оба канала защищены от воздействия помех;

H2 - первый выбранный канал защищен, второй вы­бранный канал не защищен от воздействия помех;

H3 - первый выбранный канал не защищен, второй выбранный канал защищен от воздействия помех;

H4 - оба выбранных канала не защищены от помех. Тогда

И

Задача. 1.5.1 По каналу связи передается 6 Сообщений. Каждое из сообщений может быть искажено помехами с вероятностью 0.2 Независимо от других. Найти вероят­ность того, что

1. 4 сообщения из 6 не искажены;

2. Не менее 3 из 6 переданы искаженными;

3. Хотя бы одно сообщение из 6 искажено;

4. Не более 2 из 6 не искажены;

5. Все сообщения переданы без искажения.

Решение. Так как вероятность искажения 0.2, то вероят­ность передачи сообщения без помех - 0.8.

1. Используя формулу Бернулли (1.17), найдем вероят­
ность передачи 4 сообщений из 6 без помех:

2. не менее 3 из 6 переданы искаженными:

3. хотя бы одно сообщение из 6 искажено:

4. хотя бы одно сообщение из 6 искажено:

5. все сообщения переданы без искажения:

Задача. 1.5.2 Вероятность того, того, что летом день будет ясным, равна 0.42; вероятность пасмурного дня рав­на 0.36 и переменной облачности - 0.22. Сколько дней из 59 можно ожидать ясных и пасмурных?

Решение. Из условия задачи видно, что надо искать наи­более вероятное число ясных и пасмурных дней.

Для ясных дней P = 0.42, N = 59. Составляем неравен­ства (1.20):

59 0.42 + 0.42 - 1 < m0 < 59 0.42 + 0.42.

24.2 ≤ Mo ≤ 25.2 → Mo = 25.

Для пасмурных дней P = 0.36, N = 59 и

0.36 59 + 0.36 - 1 ≤ M 0 ≤ 0.36 59 + 0.36;

Следовательно 20.16 ≤ M 0 ≤ 21.60; → M 0 = 21.

Таким образом, наиболее вероятное число ясных дней Mo =25, пасмурных дней - M0 = 21. Тогда летом можно ожи­дать Mo + M0 =46 ясных и пасмурных дней.

Задача. 1.5.3 На лекции по теории вероятностей при­сутствует 110 студентов курса. Найти вероятность того что

1. k студентов (k = 0,1,2) из присутствующих родились первого сентября;

2. хотя бы один студент курса родился первого сентя­бря.

P =1/365 очень мала, поэтому используем фор­мулу Пуассона (1.22). Найдем параметр Пуассона. Так как

N = 110, то λ = np = 110 1 /365 = 0.3.

Тогда по формуле Пуассона

Задача. 1.5.4 Вероятность того, что деталь не стан­дартная, равна 0.1. Сколько деталей нужно отобрать, чтобы с вероятностью P = 0.964228 Можно было утвер­ждать, что относительная частота появления нестан­дартных деталей отклоняется от постоянной вероятно­сти p = 0.1 По абсолютной величине не более, чем на 0.01 ?

Решение.

Требуемое число N Найдем по формуле (1.25). Имеем:

P = 1.1; q = 0.9; P = 0.96428. Подставим данные в формулу:

Откуда находим

По таблице значений функции Φ(X ) находим, что

Задача. 1.5.5 Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0.2. Определить вероятность того, что за время Т из 100 конденсаторов выйдут из строя

1. Ровно 10 конденсаторов;

2. Не менее 20 конденсаторов;

3. Менее 28 конденсаторов;

4. От 14 до 26 конденсаторов.

Решение. Имеем П = 100, P = 0.2, Q = 1 - P = 0.8.

1. Ровно 10 конденсаторов.

Так как П Велико, воспользуемся локальной теоремой Муавра - Лапласа:

Вычислим

Так как функция φ(х) - четная, то φ(-2,5) = φ(2,50) = 0,0175 (находим по таблице значений функции φ(х). Искомая вероятность

2. Не менее 20 конденсаторов;

Требование, чтобы из 100 конденсаторов из строя вы­шли не менее 20, означает, что из строя выйдут либо 20, либо 21, ..., либо 100. Таким образом, Т1 = 20, Т 2 =100. Тогда

По таблице значений функции Φ(x) Найдем Φ(x1) = Φ(0) = 0, Φ(x2) = Φ(20) = 0.5. Искомая вероятность:

3. Менее 28 конденсаторов;

(здесь было учтено, что функция Лапласа Ф(x) - нечет­ная).

4. От 14 до 26 конденсаторов. По условию M1= 14, m2 = 26.
Вычислим x 1,x2:

Задача. 1.5.6 Вероятность появления некоторого собы­тия в одном опыте равна 0.6. Какова вероятность, что это событие появиться в большинстве из 60 опытов?

Решение. Количество M Появлений события в серии ис­пытаний находится в промежутке . «В большинстве опытов» означает, что M Принадлежит промежутку По условию N = 60, P = 0.6, Q = 0.4, M 1 = 30, m2 = 60. Вычислим x1 и x2:

Случайные величины и их распределения

Задача. 2.1.1 Дана таблица, где в верхней строке указа­ны возможные значения случайной величины X, а в нижней - их вероятности.

Может ли эта таблица быть рядом распределения X?

Ответ: Да, так как p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1

Задача. 2.1.2 Выпущено 500 Лотерейных билетов, причем 40 Билетов принесут их владельцам выигрыш по 10000 Руб., 20 Билетов - по 50000 Руб., 10 Билетов - по 100000 Руб., 5 Билетов - по 200000 Руб., 1 Билет - 500000 Руб., осталь­ные - без выигрыша. Найти закон распределения выигры­ша для владельца одного билета.

Решение.

Возможные значения X: x5 = 10000, x4 = 50000, x3 = 100000, x2 = 200000, x1 = 500000, x6 = 0. Вероятности этих возможных значений:

Искомый закон распределения:

Задача. 2.1.3 Стрелок, имея 5 Патронов, стреляет до первого попадания в цель. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.7. Построить закон распределе­ния числа использованных патронов, найти функцию рас­пределения F (X ) и построить ее график, найти P(2 < x < 5).

Решение.

Пространство элементарных событий опыта

Ω = {1, 01, 001, 0001, 00001, 11111},

Где событие {1} - попал в цель, событие {0} - не попал в цель. Элементарным исходам соответствуют следующие значения случайной величины числа использованных па­тронов: 1, 2, 3, 4, 5. Так как результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущего, то вероятности воз­можных значений:

P1 = P(x1 = 1) = P(1) = 0.7; P2 = P(x2 = 2) = P(01) = 0.3 · 0.7 = 0.21;

P3 = P(x3 = 3) = P(001) = 0.32 · 0.7 = 0.063;

P4 = P(x4 = 4) = P(0001) = 0.33 · 0.7 = 0.0189;

P5 = P(x5 = 5) = P(00001 + 00000) = 0.34 · 0.7 + 0.35 = 0.0081.

Искомый закон распределения:

Найдем функцию распределения F (X ), Пользуясь формулой (2.5)

X ≤1, F(x) = P(X < x) = 0

1 < x ≤2, F(x) = P(X < x) = P1 (X1 = 1) = 0.7

2 < x ≤ 3, F(x) = P1 (X = 1) + P2(x = 2) = 0.91

3 < x ≤ 4, F(x) = P1 (x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) =

= 0.7 + 0.21 + 0.063 = 0.973

4 < x ≤ 5, F(x) = P1(x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) +

+ P4(x = 4) = 0.973 + 0.0189 = 0.9919

X > 5, F (x) = 1

Найдем P(2 < x < 5). Применим формулу (2.4): P(2 < X < 5) = F(5) - F (2) = 0.9919 - 0.91 = 0.0819

Задача. 2.1.4 Дана F (X ) некоторой случайной величины:

Записать ряд распределения дляX.

Решение.

Из свойств F (X ) Следует, что возможные значения слу­чайной величины X - Точки разрыва функции F (X ), А со­ответствующие им вероятности - скачки функции F (X ). Находим возможные значения случайной величины X={0,1,2,3,4}.

Задача. 2.1.5 Установить, какая из функций

Является функцией распределения некоторой случайной величины.

В случае утвердительного ответа, найти вероят­ность того, что соответствующая случайная величина принимает значения на [-3,2].

Решение. Построим графики функций F1(x) и F2(x):

Функция F2(x) не является функцией распределения, так как не является неубывающей. Функция F1(x) является

Функцией распределения некоторой случайной величины, так как является неубывающей и удовлетворяет условию (2.3). Найдем вероятность попадания на промежуток:

Задача. 2.1.6 Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины X:

Найти:

1. Коэффициент C;

2. Функцию распределения F(x);

3. Вероятность попадания случайной величины в интер­вал (1, 3).

Решение. Из условия нормировки (2.9)находим

Следовательно,

По формуле (2.10) находим:

Таким образом,

По формуле (2.4) находим

Задача. 2.1.7 Случайное время простоя радиоэлектрон­ной аппаратуры в ряде случаев имеет плотность вероят­ности

Где M = lge = 0.4343...

Найти функцию распределения F(x).

Решение. По формуле (2.10) находим

Где

Задача. 2.2.1 Дан ряд распределения дискретной случай­ной величины X:

Найти математическое ожидание, дисперсию, сред­нее квадратичное отклонение, M, D[-3X + 2].

Решение.

По формуле (2.12) находим математическое ожидание:

M[X] = x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4 = 10 · 0.2 + 20 · 0.15 + 30 · 0.25 + 40 · 0.4 = 28.5

M = 2M[X] + M = 2M[X] + 5 = 2 · 28.5 + 5 = 62. По формуле (2.19) найдем дисперсию:

Задача. 2.2.2 Найти математическое ожидание, диспер­сию и среднее квадратичное отклонение непрерывной слу­чайной величины X, функция распределения которой

.

Решение. Найдем плотность вероятности:

Математическое ожидание найдем по формуле (2.13):

Дисперсию найдем по формуле (2.19):

Найдем сначала математическое ожидание квадрата случайной величины:

Среднее квадратичное отклонение

Задача. 2.2.3 X имеет ряд распределения:

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = EX.

Решение. M [ Y ] = M[ EX] = e -- 1 · 0.2 + e0 · 0.3 + e1 · 0.4 + e2 · 0.1 =

0.2 · 0.3679 + 1 · 0.3 + 2.71828 · 0.4 + 7.389 · 0.1 = 2.2.

D[Y] = D = M[(eX)2 - M2 [E X] =

[(e-1)2 0.2 + (e0)2 0.3 + (e1)2 0.4 + (e2)2 0.1] - (2.2)2 =

= (e--2 0.2 + 0.3 + e2 0.4 + e4 0.1) - 4.84 = 8.741 - 4.84 = 3.9.

Задача. 2.2.4 Дискретная случайная величина X Может принимать только два значения X1 И X2, причем X1 < x2. Известны вероятность P1 = 0.2 Возможного значения X1, математическое ожидание M[X] = 3.8 И дисперсия D[X] = 0.16. Найти закон распределения случайной величины.

Решение. Так как случайная величина X принимает толь­ко два значения x1 и x2, то вероятность p2 = P(X = x2) = 1 - p1 = 1 - 0.2 = 0.8.

По условию задачи имеем:

M[X] = x1p1 + x2p2 = 0.2x1 + 0.8x2 = 3.8;

D[X] = (x21p1 + x22p2) - M2[X] = (0.2x21 + 0.8x22) - (0.38)2 = 0.16.

Таким образом получили систему уравнений:

Условию x1

Задача. 2.2.5 Случайная величина X подчинена закону распределения, график плотности которого имеет вид:

Найти математическое ожидание, дисперсию и сред­нее квадратичное отклонение.

Решение. Найдем дифференциальную функцию распре­деления f(x). Вне интервала (0, 3) f(x) = 0. На интервале (0, 3) график плотности есть прямая с угловым коэффици­ентом k = 2/9, проходящая через начало координат. Таким образом,

Математическое ожидание:

Найдем дисперсию и среднее квадратичное отклоне­ние:

Задача. 2.2.6 Найти математическое ожидание и дис­персию суммы очков, выпадающих на четырех игральных кубиках при одном бросании.

Решение. Обозначим A - число очков на одном кубике при одном бросании, B – число очков на втором кубике, C - на третьем кубике, D - на четвертом кубике. Для случайных ве­личин A, B, C, D за­кон распределения один.

Тогда M[A] = M[B] = M[C] = M[D] = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3.5

Задача. 2.3.1 Вероятность того, что частица, вылетев­шая из радиоактивного источника, будет зарегистриро­вана счетчиком, равна 0.0001. За время наблюдения из ис­точника вылетело 30000 Частиц. Найти вероятность то­го, что счетчик зарегистрировал:

1. Ровно 3 частицы;

2. Ни одной частицы;

3. Не менее 10 частиц.

Решение. По условию П = 30000, P = 0.0001. События, со­стоящие в том, что частицы, вылетевшие из радиоактив­ного источника, зарегистрированы, независимы; число П Велико, а вероятность P Мала, поэтому воспользуемся рас­пределением Пуассона:Найдем λ: λ = п P = 30000 0.0001 = 3 = М[Х]. Искомые вероятности:

Задача. 2.3.2 В партии 5% нестандартных деталей. На­удачу отобраны 5 деталей. Написать закон распределе­ния дискретной случайной величины X - числа нестан­дартных деталей среди пяти отобранных; найти мате­матическое ожидание и дисперсию.

Решение. Дискретная случайная величина X - число нестандартных деталей - имеет биномиальное распреде­ление и может принимать следующие значения: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 4, x6 = 5. Вероятность нестандарт­ной детали в партии p = 5/100 = 0.05. Найдем вероятности этих возможных значений:

Напишем искомый закон распределения:

Найдем числовые характеристики:

0 0.7737809 + 1 0.2036267 + 2 0.0214343+

3 0.0011281 + 4 0.0000297 + 5 0.0000003 = 0.2499999 ≈ 0.250

M[X] = N p = 5 0.05 = 0.25.

D[X] = M – M 2 [X] = 02 0.7737809 + 12 0.2036267+

22 0.0214343 + 32 0.0011281 + 42 0.0000297 + 52 0.0000003- 0.0625 =

0.2999995 - 0.0625 = 0.2374995 ≈ 0.2375

Или D [ X ] = n p (1 - P) = 5 0.05 0.95 = 0.2375.

Задача. 2.3.3 Время обнаружения цели радиолокатором распределено по показательному закону

Где 1/ λ = 10 Сек. - среднее время обнаружения цели. Найти вероятность того, что цель будет обнаружена за время от 5 До 15 Сек. после начала поиска.

Решение. Вероятность попадания случайной величины X В интервал (5, 15) Найдем по формуле (2.8):

ПриПолучаем

0.6065(1 - 0.3679) = 0.6065 0.6321 = 0.3834

Задача. 2.3.4 Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону с параметрами a = 0, σ = 20 Мм . За­писать дифференциальную функцию распределения F (X ) и найти вероятность того, что при измерении допущена ошибка в интервале от 5 До 10 Мм .

Решение. Подставим значения параметров a и σ в диффе­ренциальную функцию распределения (2.35):

По формуле (2.42) найдем вероятность попадания слу­чайной величины X В интервале , т. е. A = 0, B = 0.1. То­гда дифференциальная функция распределения F(x) Будет иметь вид

Вечер постепенно окутывал величественный замок Змиулан. Постепенно зажигались в коридорах факелы, ученики спешили разойтись по комнатам. И вот, когда коридоры уже пустовали, из-за угла вышел человек: дорогой костюм чёрного цвета идеально сидел на его подтянутой фигуре, русые волосы были зачесаны назад, глаза фисташкового цвета смотрели только вперёд равнодушным взглядом. Нортон Огнев, а это был он, подошел к кабинету Великого Духа Осталы. Постучав и получив разрешение, мужчина вошел в помещение. -Итак, зачем ты пришел, Нортон? - спиной к отцу Василисы, смотря в окно, стоял сам хозяин замка. Равнодушие не исчезло с лица Огнева, но он внутренне напрягся. -Господин Астрагор, мне нужно отправиться в Черновод на несколько дней, - глава Драгоциев развернулся. -Как я понимаю, ты поедешь не один? - Нортон-старший медленно кивнул: -Да, господин Астрагор. Если вы не против, я возьму с собой свою дочь, Фэша и Захарру. -А зачем тебе, Нортон, брать с собой моих племянников? - с неким интересом взглянул на Огнева глава Драгоциев. -Василиса попросила, - будто нехотя ответил Нортон-старший. Астрагор задумчиво уставился на пламя в камине. Огнев терпеливо ожидал ответа… *** Ночь окутала величественный замок звездным полотном. Легкий ветерок шелестел листвой сада. В Зеленой комнате уже готовилась ко сну Василиса. -Ох, как же давно я тут не была… - протянула девушка, оглядывая комнату. Она уже даже не помнила, когда в последний раз была здесь, но видела, что всё находилось на своих местах. Неожиданно в распахнутое окно влетел парень. Огнева удивленно взглянула на нежданного гостя. Спрятав черные крылья, темноволосый улыбнулся хозяйке комнаты: -Привет совам! -Ты меня напугал! - воскликнула девушка, раздраженно смотря на парня. -Ой, да ладно тебе, - хмыкнул гость. - Думаю, ты всегда меня пугаться будешь. -Не говори глупостей! Стану я бояться такого заносчивого парня вроде тебя, - раздраженно проговорила Василиса. - Кстати, Фэш, а чего ты прилетел, тем более, так поздно? Опять не спится? -Ага, - кивнул Драгоций. - Решил себе экскурсию по Черноводу устроить… Но одному гулять не очень весело, да и опасно. По незнакомому замку всё-таки, - хитро блеснул глазами Фэш. -Предлагаешь, чтобы я провела тебе экскурсию? - недоуменно взглянула на друга Василиса. -А почему бы и нет? Ты же здесь всё знаешь? - вопросительно поднял бровь брюнет. -Почти, - уклончиво ответила рыжеволосая. -Ну вот и хорошо, - Драгоций направился к двери. Огневой ничего не осталось сделать, как последовать за ним. Ребята шли по темным коридорам, начасовав светильники. Василиса рассказывала Фэшу, что помнит в этом замке. Тот внимательно её слушал, иногда перебивая или ехидно фыркая на то или иное предложение. Вскоре ему наскучило просто ходить и слушать болтовню, и он, кое-что вспомнив, задал вопрос: -Кстати, а что там за башня, которую мы видели, когда в карете ехали? -Ты какую имеешь ввиду? - задумчиво спросила Огнева. -Кажется, Западную, - протянул Драгоций. -А, эту, - тут же поняла рыжеволосая. - У нас ее прозывают Одинокая, там когда-то содержались узники. -А давай заглянем туда? - в льдисто-голубых глазах брюнета блеснул азарт. -Ну, не знаю… - неуверенно протянула Василиса. -Боишься? - усмехнулся Драгоций. Как Фэш и предполагал, ее удалось взять на слабо: лицо девушки вспыхнуло, и она сжала кулаки: -Идем, - и Василиса повела довольно улыбнувшегося брюнета к этой башне. Без препятствий открыв дверь, ребята вошли в помещение. Дверь вскоре захлопнулась. Фэш подошел к распахнутому настежь окну и запрыгнул на подоконник, вдохнув морской бодрящий запах: -Эх, хорошо… - затем повернулся к рыжеволосой. - Давай, садись, - и стукнул ладонью по месту рядом с собой. Девушка тут же пристроилась рядом. Полная луна светила в вышине, а внизу волновалось море. Накатывали волна за волной, разбиваясь о скалы. -Какая яркая луна, - взглянула вновь на небо Василиса. -А у меня песня есть про луну. Давно еще сочинил, - вдруг сказал Фэш. -Так ты петь умеешь? - удивленно взглянула на Драгоция рыжеволосая. Тот молча кивнул. -А что, не веришь? - брюнет приблизился к лицу Огневой, с усмешкой глядя в глаза собеседницы. Заметил, что щеки её порозовели, и улыбка стала шире. -Да нет, просто… - запнулась покрасневшая Василиса, отведя взгляд от льдисто-голубых глаз, в которых отражался свет луны. - Просто не было возможности подтвердить твои слова, - она вновь взглянула в эти глаза. Фэш стал медленно наклоняться к рыжеволосой. Та пошла ему навстречу. Между их лицами остаются считанные миллиметры. Огнева уже чувствовала легкий ветерок выдохов на своих губах. Их губы почти соприкаснулись, и… -Ох, как же это мило! - Василиса тут же отстранилась от Драгоция и залилась румянцем похлеще прежнего. Фэш повернулся. Пред его ясные очи предстала… -Захарра?! - воскликнули удивленно двое голубков. -Что ты здесь делаешь? - раздраженно взглянул на сестру брюнет. -Да я видела, как ты летел куда-то, решила узнать. Вышла, смотрю, вы идете, болтаете. Главное, меня не замечаете. Ну, я за вами и пошла, - выложила всё куцехвостая. -Подлючая родная кровь… - пробурчал Фэш, слез с подоконника и ушел к себе. Василиса последовала его примеру. Захарра мигом прошмыгнула в коридор за Огневой и тоже вернулась в свою комнату…

Ночь. Свет полной луны, висящей на звездном небе, через витражи на окнах освещал мрачные коридоры Змиулана, от стен которых отражался гулкий звук бега. -Ну что за девчонка! - сбивая дыхание, пробурчал Фэш. - Испугалась она, понимаешь ли… Только время зря потерял! Надеюсь, мне всё же удастся сбежать…в этот раз… Несясь к Каменной Зале, он молился, чтобы ему никто не попался на пути. Но всё произошло с точностью да наоборот. Во тьме коридоров (где не удосужились сделать окна) Драгоций столкнулся с кем-то, услышав знакомый голос: ,Кто тут носится, как угорелый?! "". Брюнет вызвал часовую стрелу и зажег на острие её огонек. В свет импровизированного светильника попала… Василиса?! -Ты?! - одновременно воскликнули эти двое. Фэш испытал одновременно с удивлением и облегчение: всё-таки с Огневой они в ладах, и его она не сдаст…ну, он на это надеялся. Парень подумал, что рыжеволосая испытала нечто подобное. -Что ты здесь делаешь? - протянул Василисе руку Драгоций. Та, приняв помощь, поднялась и отряхнулась: -Тот же вопрос хотелось бы задать тебе. -Я первый спросил, - скрестил руки на груди Фэш. -Не важно. Вообще, это не твоё дело, - огрызнулась Василиса. -Ну, значит, и то, что я делаю, не твое дело, - спокойно пожал плечами Драгоций. Рыжеволосая поджала губы и задумчиво взглянула на брюнета: -Я скажу только после тебя. -Ну…я… - начал Фэш, пытаясь подобрать слова, но ничего не выходило. - Ладно, я хочу сбежать, - выпалил Драгоций. Глаза Василисы расширились: -Ты что, умом тронулся? Фэш закатил глаза и раздраженно взглянул на Огневу: -Нет, но я не хочу оставаться здесь. -Если тебя поймают, то накажут. Вспомни, что было в прошлые разы, - скрестила руки на груди рыжеволосая. Драгоций скривился: -Слушай, лучше не мешай мне. Василиса задумчиво взглянула на брюнета: -Хорошо, мешать не буду…тем более, я сегодня такая добрая, что даже сдавать тебя не буду, - хихикнула Огнева и, развернувшись, хотела уходить, но Фэш остановил её окликом: -Василиса, - девушка развернулась и выжидающе взглянула на брюнета, - спасибо, - улыбнулся Драгоций и убежал. Огнева улыбнулась и направилась к себе… *** -Это было огромной ошибкой, племянник, - Астрагор возвышался над лежащим полуголым Фэшем. Ученики стали тихо перешептываться. - Ты не раз пытался сбежать и всегда получал наказание… - Шакл, который пришел специально для исполнения расправы, достал один из прутьев и взмахнул пару раз. Послышался хлесткий звук. -Надеюсь, ты всё-таки поймешь, что бежать бесполезно, - великий дух Осталы повернулся к провинившемуся спиной, лицом - к остальным ученикам: -Думаю, это послужит примером и вам. Прут, рассекая воздух, тут же прошелся по спине Фэша, оставляя красные, даже кровавые полосы. Удар за ударом. Брюнет стоически выносил все удары, лишь иногда издавая полустон - полурык. Ученики смотрели на это с неким ехидством. Только Василиса и Захарра взволнованно смотрели на брюнета… *** Фэш сидел в темнице и раздумывал. Раньше его просто сажали в подземелье, оставляя без еды, но сейчас, видимо, дяде надоело, что его племянник наказан так легко. Брюнет повел плечом, болезненно скривившись. Он не обращал внимания на холод, сырость, погрузившись в свои мысли. Из раздумий его вывел звук шагов, раздавашийся по коридору. Вскоре под свет факела вышла Василиса. Фэш тут же подошел к решетке: -Ты чего здесь делаешь? -Держи, - Огнева между прутьями просунула руку и отдала Драгоцию довольно приличный кусок еще теплого хлеба с семечками. Фэш принял еду. -И что это за приступы щедрости? - усмехнулся он. -Это Захарра попросила передать. Ее не пропускали, - пожала плечами Огнева. -То есть, Захарру не пустили, а тебя, ту, что не является родственницей Астрагора, спокойно пропустили? - усмехнулся брюнет. -Ну, это не я решаю, - Василиса вновь пожала плечами, правда, Фэш в её глазах заметил волнение. -Ну, я спрошу потом у Захарры об этом, - спокойно сказал Драгоций, откусив немного хлеба. -Спроси, а мне пора уже, - Огнева развернулась и спокойно прошла до угла и завернула за него. Вскоре Фэш услышал звуки бега и усмехнулся. ,Всё-таки это её инициатива. Наверное, к сестричке побежала договариваться на всякий случай""…

Нас часто интересует вероятность одновременного наступления нескольких событий, например выпадения двух орлов при двух бросках монеты или по крайней мере одной шестерки при двух бросках игральной кости. Ситуации такого рода называются ситуациями с несколькими возможными исходами.

Использование древовидных диаграмм

Хотя довольно легко понять, что вероятность выпадения орла при одном броске «честной» монеты равна?, интуитивно определить вероятность выпадения четырех орлов при четырех бросках «честной» монеты несколько труднее. Хотя пример с монетой может показаться искусственным, он хорошо подходит для объяснения сочетания вероятностей при нескольких попытках. Давайте произведем расчеты. (Следите за моими рассуждениями, даже если вы панически боитесь математики. Если вы поработаете над примерами, вычисления и математические рассуждения покажутся вам довольно простыми. Не надо восклицать, взглянув на следующие несколько цифр: «Нет, ни в коем случае, я это просто пропущу». Важно уметь думать с числами и о числах.)

При первом броске может наступить лишь один из двух возможных исходов; орел (О) или решка (Р). Что произойдет, если монету бросят дважды? Существует четыре возможных исхода: орел оба раза (ОО), орел в первый раз и решка во второй раз (ОР), решка в первый раз и орел во второй раз (РО) и решка оба раза (РР). Поскольку существует четыре возможных исхода и лишь один способ выпадения двух орлов, то вероятность этого события равна 1/ 4 (опять-таки мы предполагаем, что монета – «честная», т. е. выпадение орла и решки равновероятно). Существует общее правило для вычисления вероятности совместного появления нескольких событий в любой ситуации – правило «и». Если вы хотите найти вероятность совместного появления первого и второго события (орел при первом и при втором броске), надо перемножить вероятности наступления этих событий по отдельности. Применяя правило «и», мы находим, что вероятность появления двух решек при двукратном броске монеты равна? x ? = 1/ 4 . Интуитивно кажется, что вероятность совместного появления двух событий должна быть меньше, чем вероятность каждого из них в отдельности; так оно и оказывается.

Простой способ расчета этой вероятности получается, если представить все возможные события с помощью древовидной диаграммы. Древовидные диаграммы использовались в главе 4, когда мы проверяли правильность утверждений типа «если… то…». В этой главе мы припишем ветвям дерева вероятностные значения, чтобы определить вероятности различных сочетаний исходов. В последующих главах я еще вернусь к древовидным диаграммам при рассмотрении способов нахождения творческих решений задач.

При первом броске монеты она упадет или орлом, или решкой вверх. Для «честной» монеты выпадения орла и решки имеют одинаковую вероятность, равную 0,5. Давайте изобразим это следующим образом:

Когда вы бросаете монету второй раз, то либо за первым орлом последуют второй орел или решка, либо за первой решкой последуют второй орел или решка. Вероятности выпадения орла и решки при втором броске по-прежнему равны 0,5. Исходы второго броска изображаются на диаграмме в виде дополнительных ветвей дерева.

Как видно из диаграммы, существует четыре возможных исхода. Вы можете пользоваться этим деревом для нахождения вероятностей других событий. Чему равна вероятность получения одной решки при двух бросках монеты? Поскольку существует два способа, которыми можно получить одну решку (ОР или РО), ответ равен 2 / 4 или?. Если вы хотите найти вероятность двух или более различных исходов, сложите вероятности всех исходов. Это называется правилом «или». По-другому эту задачу можно сформулировать так: «Чему равна вероятность получить или сначала орла, а потом решку (1/ 4), или сначала решку, а потом орла (1/4)?» Правильная процедура нахождения ответа состоит в том, чтобы сложить эти значения, в результате чего получается?. Интуитивно кажется, что вероятность появления одного из нескольких событий должна быть больше, чем вероятность появления каждого из них; так оно и оказывается.

Правилами «и» и «или» можно пользоваться только тогда, когда интересующие нас события независимы. Два события независимы, если появление одного из них не влияет на появление второго. В рассматриваемом примере результат первого броска монеты никак не влияет на результат второго броска. Кроме того, для применения правила «или» необходимо, чтобы события были несовместимыми, т. е. не могли происходить одновременно. В рассматриваемом примере исходы являются несовместимыми, поскольку мы не можем получить и орла, и решку при одном броске.

Представление событий в виде древовидных диаграмм полезно во многих ситуациях. Давайте расширим наш пример. Предположим, что мужчина в полосатом костюме с длинными, подкрученными вверх усами и бегающими маленькими глазками останавливает вас на улице и предлагает сыграть на деньги, бросая монету. Он все время ставит на орла. При первом броске монета падает орлом вверх. При втором броске происходит то же самое. При третьем броске опять выпадает орел. Когда вы начнете подозревать, что у него «нечестная» монета? У большинства людей сомнения возникают при третьей или четвертой попытке. Вычислите вероятность выпадения одних орлов при трех и четырех бросках «честной» монеты (вероятность выпадения орла равна 0,5).

Для расчета вероятности выпадения трех орлов в трех попытках вам надо нарисовать дерево с тремя рядами «узлов», причем из каждого узла исходят две «ветви».

В этом примере нас интересует вероятность выпадения трех орлов подряд при условии, что монета «честная». Посмотрите на столбец, озаглавленный «исход», и найдите исход ООО. Поскольку это единственный исход с тремя орлами, перемножьте вероятности вдоль ветви 000 (обведенной на диаграмме) и вы получите 0,5 х 0,5 х 0,5 = 0,125. Вероятность 0,125 означает, что если монета «честная», то в среднем она будет падать орлом вверх три раза подряд в 12,5% случаев. Поскольку эта вероятность невелика, то при выпадении трех орлов подряд большинство людей начинает подозревать, что монета «с секретом».

Для расчета вероятности выпадения четырех орлов в четырех попытках добавьте к дереву дополнительные ветви.

Вероятность выпадения четырех орлов равна 0,5 х 0,5 х 0,5 х 0,5 = 0,0625, или 6,25%. Как вы уже знаете, математически она равна 0,5 4 ; т. е. умножить число само на себя четыре раза – это то же самое, что возвести его в четвертую степень. Если вы будете считать на калькуляторе, где есть операция возведения в степень, то вы получите тот же самый ответ – 0,0625. Хотя такой исход возможен и когда-нибудь произойдет, он маловероятен. На самом деле он настолько неправдоподобен и необычен, что многие сказали бы, что человек с бегающими глазками, наверное, жульничает. Несомненно, что при выпадении пятого орла подряд разумно будет заключить, что вы имеете дело с мошенником. Для большинства научных целей событие считается «необычным», если его появление ожидается с вероятностью менее 5%. (На языке теории вероятностей это записывается так: р ‹ 0,05.)

Давайте оставим искусственный пример с монетой и применим ту же логику в более полезном контексте. Я уверена, что любой студент когда-либо сталкивался с тестами с выбором вариантов, в которых нужно выбирать из предложенных вариантов правильные ответы. В большинстве таких тестов на каждый вопрос предлагается пять вариантов ответов, из которых правилен только один. Предположим, что вопросы настолько трудны, что вы можете только случайно угадать правильный ответ. Какова вероятность правильного угадывания при ответе на первый вопрос? Если вы понятия не имеете, какой из вариантов является правильным ответом, то вы с одинаковой вероятностью можете выбрать любой из пяти вариантов, предполагая, что любой из них может оказаться правильным. Поскольку сумма вероятностей выбора всех вариантов должна быть равна единице, то вероятность выбора каждого из вариантов при равновероятности всех вариантов равна 0,20. Один из вариантов правильный, а остальные – неправильные, поэтому вероятность выбора правильного варианта равна 0,20. Древовидная диаграмма этой ситуации изображена ниже.

Какова вероятность правильно угадать ответы на первые два вопроса теста? Нам придется добавить новые ветви к дереву, которое вскоре станет очень густым. Чтобы сэкономить место и упростить вычисления, можно представить все неправильные варианты в виде одной ветви, обозначенной «неправильные». Вероятность ошибиться при ответе на один вопрос равна 0,8.

Вероятность правильно угадать ответы на два вопроса равна 0,2 х 0,2 = 0,04. То есть случайно это может произойти только в 4% попыток. Допустим, что мы расширим наш пример до трех вопросов. Я не буду рисовать дерево, но вы должны уже понять, что вероятность равна 0,2 х 0,2 х 0,2 = 0,008. Это настолько необычное событие, что оно может произойти случайно менее чем в 1 % попыток. Что вы подумаете о человеке, которому удалось правильно ответить на все три вопроса? Большинство людей (а преподаватели тоже люди) заключит, что студент не выбирал ответы наугад, а действительно что-то знал. Конечно, не исключено, что ему просто повезло, но это чрезвычайно маловероятно. Таким образом, мы приходим к выводу, что полученный результат не может объясняться только удачей.

Мне хотелось бы отметить одну любопытную сторону таких рассуждений. Рассмотрим плачевную ситуацию, в которую попала Сара. Она отвечала на 15 вопросов теста, где ответ на каждый вопрос надо было выбирать из пяти вариантов. Сара ответила неправильно на все 15 вопросов. Можете ли вы определить вероятность того, что это произошло случайно? Я не буду рисовать древовидную диаграмму для иллюстрации этой ситуации, но легко видеть, что вероятность ошибиться при ответе на один вопрос равна 0,8; поэтому вероятность неправильно ответить на все 15 вопросов равна 0,8 15 . Это число 0,8, умноженное само на себя 15 раз, в результате чего получается 0,0352. Поскольку вероятность такой случайности равна 3,52%, может быть, Саре стоит заявить преподавателю, что такой необычный результат не может объясняться случайностью? Сара, конечно, может привести подобный довод, но поверили бы вы ей на месте преподавателя? Предположим, она утверждает, что знала ответы на все вопросы. Как иначе она смогла бы не выбрать правильный вариант ответа в 15 вопросах подряд? Я не знаю, сколько преподавателей поверили бы ее утверждению, что 15 неверных ответов доказывают наличие у нее знаний, хотя в принципе такой ход рассуждений используется для доказательства наличия знаний, поскольку вероятность правильно угадать все ответы примерно такая же. (В этом примере вероятность наугад ответить правильно на все 15 вопросов равна 0,20 15 ; это число значительно меньше 0,0001.) Если бы преподавателем Сары была я, то я бы поставила ей высокие оценки за творческий подход и понимание статистических принципов. Не исключено, что Сара действительно что-то знала на эту тему, но в этом «чем-то» была систематическая ошибка. Я бы также указала ей на то, что, возможно, она не подготовилась к тесту, а вдобавок ей еще и не повезло, и она сделала 15 неверных догадок. В конце концов, иногда случаются и очень необычные события.

Перед тем как перейти к чтению следующего раздела, проверьте, понимаете ли вы, как применять древовидные диаграммы для расчета вероятностей и учета всех возможных исходов. В этой главе я еще вернусь к таким диаграммам. Когда вы научитесь их использовать, вы будете удивлены, как много существует ситуаций, в которых они могут применяться.